Пример 1. Расчет монолитной бетонной крепи ствола.

Требуется произвести расчет крепи ствола радиусом в свету $r_{0}$ =4 мм. Рассчитываемое сечение находится на глубине $H$ =655 м в водоносном горизонте с напором подземных вод, гасящимся в крепи и тампонажном слое: $H_{w}$ =0,72 МПа. Окружающие породы - песчаники с характеристиками: $E_{0}$ =16800 МПа; $\nu_{0}$ =0,3. Удельный вес пород с учетом взвешивающего действия воды $\gamma ^{*}$ =0,0204 МН/м³. Коэффициент разгрузки $\alpha ^{*}$ =0,21.

Материал крепи - монолитный бетон марки В15 с характеристиками: $E_{1}$ =23000МПа; $\nu_{1}$ =0,15; $R_{b}$ =8,5 МПа; толщина крепи 30 см ( $r_{1}$ =4,3 м).

Вокруг ствола имеется зона затампонированных пород, радиальная протяженность которых составляет 8 м ( $r_{2}$ =12,3 м). Характеристики пород в зоне тампонажа: $E_{2}$ =19380МПа; $\nu_{2}$ =0,25.

Рис. 1. Расчетная схема. 1 - крепь; 2 - зона затампонированных пород; 3 - породный массив

Геометрические характеристики крепи (пример 1)

Рис. 2. Геометрические характеристики. 1 - бетон; 2 - зона затампонированных пород; 3 - породный массив

Решение.

Алгоритм расчета рекомендуется нормативными документами [3] и отражен в трудах [11], [12], [30], [32], [33], [74].

Произведем расчет крепи на горное давление.

Расчетная схема представляет собой многослойное кольцо, нагруженное эквивалентными напряжениями на бесконечности (см. рис 1). Определяем коэффициенты передачи внешних нагрузок через каждый слой расчетной схемы. Произведем необходимые промежуточные вычисления по формулам (5), (6), (7), (8), (9), (10), (11).

$c_{1}=\frac{r_{1}}{r_{0}}=\frac{4,3}{4}=1,075$ ;

$c_{2}=\frac{r_{2}}{r_{1}}=\frac{12,3}{4,3}=2,86$ ;

$c_{1}^{2}=1.1556$ ;

$c_{2}^{2}=8.182$ ;

$x_{1}=3-4\nu _{1}=2,4$ ;

$x_{2}=3-4\nu _{2}=2$ ;

$G_{1}=\frac{E_{1}}{2(1+\nu _{1})}=\frac{24000}{2(1+0,15)}=10434,8$ МПа;

$G_{2}=\frac{E_{2}}{2(1+\nu _{2})}=\frac{19380}{2(1+0,25)}=7752$ МПа;

$d_{1(1)}=c_{1}^{2}(x_{1}+1)=1,1556(2,4+1)=3,929$ ;

$d_{1(2)}=c_{2}^{2}(x_{2}+1)=8,182(2+1)=24,546$ ;

$d_{2(1)}=2c_{1}^{2}+x_{1}-1=2,31+2,4-1=3,71$ ;

$d_{2(2)}=2c_{2}^{2}+x_{2}-1=16,364+2-1=17,364$ ;

$d'_{1(1)}=c_{1}^{2}(x_{1}-1)+2=1,1556(2,4-1)+2=3,6178$ ;

$d'_{1(2)}=c_{2}^{2}(x_{2}-1)+2=8,182(2-1)+2=10,182$ ;

$d'_{2(1)}=x_{1}+1=2,4+1=3,4$ ;

$d'_{2(2)}=x_{2}+1=2+1=3$ .

Определяем величину $\chi _{0(2,1)}$ по формуле (3):

$\chi _{0(2,1)}=\frac{G_{2}}{G_{1}}\frac{c^{2}_{2}-1}{c^{2}_{1}-1}=\frac{7752}{10434,8}\frac{7,182}{0,1556}=34,29$ .

Определяем коэффициенты передачи нагрузок по формуле (1), (2):

$K_{0(2)}=\frac{d_{1(2)}}{d_{2(2)}+\chi_{0(2,1)}d'_{1(1)}}=\frac{24,546}{17,364+124,05}=0,174$ ;

$K_{0(3)}=\frac{x_{0}+1}{2+\frac{G_{0}}{G_{2}}\frac{1}{c_{2}^{2}-1}(d'_{1(2)}-K_{0(2)}d'_{2(2)})}=\frac{1,8+1}{2+\frac{6461,5}{7752}\frac{1}{7,182}(10,182-0,5916)}=0,897$ .

Произведем расчет крепи на горное давление. Определяем эквивалентные напряжения на бесконечности (24):

$P_{0eq}=\alpha ^{*}\gamma ^{*}H\frac{2}{x_{0}+1}=0,21*0,0204*655\frac{2}{2,8}=2,004$ МПа.

Определяем нормальные напряжения на контакте крепи с массивом (зоной затампонированных пород) по формуле (12), которая в данном случае примет следующий вид:

$p_{0(1)}=P_{0eq}*K_{0(3)}*K_{0(2)}=2,004*0,897*0,174=0,31$ МПа.

Находим $m_{1(1)}$ по формуле (16). Определяем напряжения в крепи. Для бетонной крепи формула (14) упрощается:

$m_{1(1)}=\frac{2c^{2}_{1}}{c^{2}_{1}-1}=\frac{2,3}{1,1556-1}=14,851$ ;

$\sigma _{\theta(1)}^{in}=p_{0(1)}m_{1(1)}=0,31*14,851=4,64$ МПа.

Произведем расчет крепи на гидростатическое давление.

Расчет бетонной (фильтрующей) крепи при наличии зоны затампонированных пород производится с учетом величин напоров подземных вод, гасящихся в крепи и тампонажном слое. Эквивалентные напряжения, прикладываемые на бесконечности определяются по формуле (24):

$P_{0eq}=H_{w}\frac{2}{x_{0}+1}=0.72\frac{2}{2,8}=0,516$ МПа.

Определяем напряжения на контакте крепи с массивом (12), которая в данном случае примет следующий вид:

$p_{0(1)}=P_{0eq}*K_{0(3)}*K_{0(2)}=0,516*0,897*0,174=0,08$ МПа.

Определяем значение нормальных тангенциальных напряжений в радиальном сечении крепи. Для бетонной крепи формула (14) упрощается:

$\sigma _{\theta(1)}^{in}=p_{0(1)}m_{1(1)}=0,08*14,851=1,19$ МПа.

При одновременном действии различных постоянных, временных и кратковременных нагрузок и воздействий на крепь и на систему "крепь-массив" расчетные напряжения в крепи суммируются, при этом в соответствии с действующими нормативными документами учитываются коэффициенты надежности, к числу которых относятся следующие коэффициенты:

условий работы материала крепи;
условий работы конструкции крепи;
надежности крепи, учитывающие класс подземного сооружения;
коэффициенты сочетаний нагрузок и воздействий.

Суммарные напряжения в крепи от действия горного давления (собственного веса пород) и гидростатического давления:

$\sigma _{\theta(1)}^{in}=4,64+1,19=5,83$ МПа.

Убеждаемся, что напряжения в крепи меньше расчетного сопротивления бетона $R_{b}$ =8,5 МПа.

Что бы решить эту задачу с помощью on-line расчета введите следующие исходные данные:

Произведем расчет крепи на горное давление.

Табл. 1.1 . Исходные данные

Внешний радиус крепи	12,3	м
Модуль деформации массива пород	16800	МПа
Коэффициент Пуассона массива пород	0,3
Расчетные нагрузки	2,806	МПа

Примечание. Расчетные нагрузки находятся по следующей формуле: $P_{p}=\alpha ^{*}\gamma ^{*}H=0,21*0,0204*655=2,806$ МПа.

Табл. 1.2 . Геометрические и деформационные характеристики крепи.

№ слоя	Внутренний радиус слоя, м	Коэффициент армирования	Модуль деформации материала №1, МПа	Модуль деформации материала №2, МПа	Коэффициент Пуассона
	r_i_-1	µ_i	Е_i⁽¹⁾	Е_i⁽²⁾	ν_i
1	4	0	24000	24000	0,15
2	4,3	0	19380	19380	0,25

Нажмите кнопку "ВЫЧИСЛИТЬ".

Табл. 1.3. Результаты вычислений по расчету на горное давление.

№ слоя	Радиальные контактные напряжения, МПа	Нормальные тангенциальные напряжения, МПа
		в материале №1		в материале №2
		на внутреннем контуре	на внешнем контуре	на внутреннем контуре	на внешнем контуре
1	0,312	4,635	4,323	4,635	4,323
2	1,798	3,698	2,212	3,698	2,212

Максимальные тангенциальные напряжения σ=4,64 МПа.

Произведем расчет крепи на гидростатическое давление.

Расчетные нагрузки: 0,7225 МПа

Табл. 1.4. Исходные данные для расчета на гидростатическое давление.

Внешний радиус крепи	12,3	м
Модуль деформации массива пород	16800	МПа
Коэффициент Пуассона массива пород	0,3
Расчетные нагрузки	0,7225	МПа

Нажмите кнопку "ВЫЧИСЛИТЬ".

Табл. 1.5. Результаты вычислений по расчету на гидростатическое давление.

№ слоя	Радиальные контактные напряжения, МПа	Нормальные тангенциальные напряжения, МПа
		в материале №1		в материале №2
		на внутреннем контуре	на внешнем контуре	на внутреннем контуре	на внешнем контуре
1	0,080	1,194	1,113	1,194	1,113
2	0,463	0,952	0,569	0,952	0,569

Максимальные тангенциальные напряжения σ=1,19 МПа.

$\sigma _{\theta(1)}^{in}=4,64+1,19=5,83$ МПа.

Убеждаемся, что напряжения в крепи меньше расчетного сопротивления бетона $R_{b}$ =8,5 МПа.